La Razón Áurea

Flores, conejos, un pentágono: una extraña selección. ¿Tiene presumiblemente alguna función simbólica? Usted se pregunta si hay alguna razón tras ello. Lentamente cuenta los pétalos: 😊 Me quiere, 😞 no me quiere,... . Pero, como buen amante del medio ambiente, usted deja los petalos firmemente pegados a las flores.

Curioso... la lila tiene tres pétalos, el geranio cinco, la espuela de caballero tiene ocho, la caléndula trece, el áster veintiuno y las margaritas tienen treinta y cuatro, cincuenta y cinco y ochenta y nueve.

Quizás haya alguna lógica para la elección de las flores, pues los números aumentan continuamente. ¿Cómo de continuamente? Usted escribe los números en orden: $$3,5,8,13,21,34,55,89,\dots$$ Parece que deberían guardar una pauta, pero, si lo hacen, no se trata de una pauta familiar. Los números no son consecutivos, como $1,2,3,4,5,6,7$. No son todos impares, ni son todos pares. No son potencias de dos, $2,4,8,16,32,64,128$. No son primos, $2,3,5,7,11,13,17$. No son cuadrados $1,4,9,16,25,36,49$. Uno de ellos $8$, es un cubo: $8=2\times 2\times 2$; el resto no lo son. Pese a todo, tienen su propia magia, su propia aura de significado.

Significan algo; de lo contrario, las flores no habrían sido plantadas donde lo están.

Pero ¿Qué? ¿Por qué han sido plantadas aquí, precisamente en la entrada al laberinto mágico?

Y ¿Qué tienen que ver con los conejos y los pentágonos?

La magia de los números
Nuestro primeros pasos para entender este tipo de situaciones en matemáticas, consiste en empezar con una magia más mundana: con magia de salón. Mas adelante, cuando estemos mejor preparados, volveremos a las flores y los conejos. Empecemos con una magia muy simple:

• Piense en número.
• Súmele diez. Multiplique el resultado por dos. Reste seis.
• Divídalo por dos. Reste el número que pasó inicialmente.
• La respuesta es siete. Siempre.

Todos hemos oído algún truco de este tipo, y todos conocemos el principio general en el que se basa. De una forma u otra, a ese números evasivo y desconocido que entra al principio en el cálculo se le convence mágicamente para que desaparezca de nuevo al final. No obstante, ¿por qué funciona?

Los profesores bienintencionados suele decir que la mejor forma de entender las matemáticas es mediante ejemplos concretos. Si usted  ensaya un ejemplo del truco de salón que acabamos de describir, puede comprobar con facilidad que su elección conduce realmente al resultado siente. Por ejemplo:

• Piense un número: ........................................................ 31
• Súmele diez: ................................................................. 41
• Multiplique el resultado por dos: ................................... 82
• Reste seis: .................................................................... 76
• Divídalo por dos: ........................................................... 38
• Reste el número que pensó inicialmente: ..................... 7
• La respuesta es siete: sí.

El problema es que el cálculo apenas da ninguna idea de por qué la respuesta es siempre siete, cualquiera que sea el número que usted elija.

Y ésta es la primera lección acerca de pensar como un matemático: a veces recompensa pensar en generalidades y no en cosas concretas. Aquí, un ejemplo no sirve de mucho. Por supuesto, usted podría poner un centenar de tales ejemplos, y le prometo que siempre obtendrá siete como respuesta. El efecto acumulativo de los ejemplos podría convencerle de que el cálculo está amañado de modo que siempre produce la respuesta siente, pero no le dirá cómo está amañado. Y los matemáticos han aprendido a ser muy cautos acerca de la evidencia experimental, porque en muchas situaciones en las que parecía haber una evidencia muy fuerte a favor de alguna presunta verdad matemática, dicha evidencia resultó ser totalmente engañosa, y la verdad se revelo como una falsedad.

Si los ejemplos concretos no ayudan, ¿Qué otra cosa podemos hacer? Podemos tratar de pensar con cierto nivel de generalidad. Tan simple como sea posible, pero no demasiado simple, como parece que dijo Albert Einstein.

Los matemáticos-maestros del antiguo Egipto tenían una forma general de pensar sobre tales cuestiones. Llamaban al número desconocido montón (👻), lo que significa cierto número fijo aunque desconocido. ensayemos el cálculo con montones:

• Piense un número:   👻 
• Súmele diez:   👻 💣💣💣💣💣💣💣💣💣💣
• Multiplique el resultado por dos:   👻 💣💣💣💣💣💣💣💣💣💣                                                                                                          👻 💣💣💣💣💣💣💣💣💣💣

• Reste seis:   👻 💣💣💣💣💣💣💣                                                                                                                     👻 💣💣💣💣💣💣💣
• Divídalo por dos:   👻 💣💣💣💣💣💣💣
• Reste el número que pensó inicialmente:   💣💣💣💣💣💣💣
• La respuesta es siete: sí.

¡Fácil!
Lo crea o no, usted acaba de hacer dos cosas que la mayoría de la gente considera difíciles y sofisticadas. La primera es álgebra. La otra, conceptualmente más profunda, es una demostración.

El álgebra es una especie de razonamiento simbólico que trabaja con números sin conocer sus valores reales. Las demostraciones proporcionan una garantía de una vez por todas de que ciertas lineas de razonamiento funcionan siempre. En lugar de comprobar muchos ejemplos, usted da un argumento lógico para demostrar que su método siempre funciona, lo que en este caso significa que la respuesta es siempre el mismo número a saber, siete. No supone ninguna diferencia qué valor asigne usted al montón: después de todas las maquinaciones aritméticas el montón desaparece mágicamente y sólo quedan los números no-montones.

Hay que reconocer que nuestra demostración con sus pequeños dibujos de montones, no se parece mucho al álgebra. Pero eso es tan sólo una cuestión de notación para que se parezca al álgebra ordinaria, todo lo que uno tiene que hacer es reemplazar montón por una letra del alfabeto (la tradicional es $x$) y los círculos por números convencionales. De modo que ahora la demostración tiene este aspecto:

• Piense un número: ........................................................ $x$
• Súmele diez: ................................................................. $x+10$
• Multiplique el resultado por dos: ................................... $2x+20$
• Reste seis: .................................................................... $2x+14$
• Divídalo por dos: ........................................................... $x+7$
• Reste el número que pensó inicialmente: ...................... $7$
• La respuesta es siete: sí.

Es lo mismo que con los montones. Como dijo en cierta ocasión Carl Friedrich Gauss, probablemente el matemático mas grade que halla vivido nunca, en matemáticas lo que importa son las nociones, no las notaciones. Las ideas, no los símbolos. Por desgracia, usted tiene que dedicar mucho tiempo a habituarse a los símbolos antes de que su mente se abra a las ideas. Aun así, aquí estamos, y usted ha hecho ya algo de álgebra y ha inventado una demostración.

La razón áurea
Hemos encontrado una regla para generar los números de Fibonacci pero no una fórmula todavía. Resulta que hay una fórmula sencilla a la que podemos llegar considerando las razones de números de Fibonacci consecutivos. Como muchas poblaciones cuyo crecimiento no tiene restricciones, tales como las bacterias recién introducidas en una cápsula de Petri de un biólogo, los conejos de Fibonacci crecen exponencialmente: es decir, cada población sucesiva es casi un múltiplo fijo de la población anterior. La razón de la tasa de crecimiento. De modo que, por supuesto, el matemático alerta debería considerar razones.

Veamos lo que sucede: $$\begin{align}&\frac{1}{1}=1,\quad \frac{2}{1}=2,\quad \frac{3}{2}=1.500,\quad\frac{5}{3}=1.666,\quad\frac{8}{5}=1.600,\quad\frac{13}{8}=1.625,\\ &\frac{21}{13}=1.615,\quad\frac{34}{21}=1.616,\quad \frac{55}{34}=1.617,\quad \frac{89}{55}=1.618,\,\dots \end{align}$$ Las razones parecen estar acercándose cada vez más a un mismo valor, aproximadamente a $1.618$. De hecho, si seguimos generando números de Fibonacci cada vez mayores, resulta que las razones se hacen tan próximas como queremos al denominado número áureo $\Phi$ (letra griga phi). Podemos suponer entonces que para un $n$ lo suficientemente grande, se tiene: $$\begin{align}\hspace{11cm}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\Phi\hspace{10.5cm}(1)\end{align}$$ Para ver la conexión entre el número áureo y la secuencia de Fibonacci, empecemos con su definición general: $$\begin{align}x_{n+2}=x_{n+1}+x_n\end{align}$$ y dividámos por $x_{n+1}$, para obtener $$\begin{align}\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}=1+\frac{x_n}{x_{n+1}}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}=1+\frac{1}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}\end{align}$$ Aplicando el supuesto (1) se tiene: $$\begin{align}\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\end{align}$$ y resolviendo esta ecuación, tenemos el número áureo $$\begin{align}\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618034\,\dots\end{align}$$